Seri Matematika Populer: Deret Fourier

Kajian mendalam tentang alam adalah sumber penemuan matematis yang paling membuahkan hasil.
– – Jean-Baptiste Joseph Fourier (1768–1830), dalam The Analytical Theory of Heat (1878).

Pengantar

Dalam kehidupan sehari-hari, kita menjumpai peristiwa-peristiwa fisis yang dapat diindera oleh mata. Saat mencuci tangan dengan sabun terbentuk gelembung-gelembung yang di permukaannya terlihat adanya gradasi warna atau pola pelangi. Munculnya pola tersebut merupakan akibat terjadinya interferensi yang melibatkan gelombang cahaya.

Seperti diketahui, kita mengenal sifat dualisme cahaya, artinya selain bersifat sebagai partikel, cahaya juga memiliki sifat gelombang. Cahaya merupakan kombinasi medan listrik dan magnet yang saling tegak lurus pada sebuah bidang dan merambat dalam bentuk gelombang. Oleh karena cahaya dapat dilihat dengan mata telanjang maka para ahli fisika menggolongkannya sebagai gelombang elektromagnetik dalam rentang frekuensi tampak.

Pola interferensi yang terjadi pada permukaan gelembung sabun tak lain merupakan peristiwa superposisi gelombang cahaya. Sederhananya, superposisi gelombang dapat diartikan sebagai kombinasi atau bergabungnya beberapa gelombang, baik memiliki amplitudo sama maupun berbeda, sehingga membentuk pola gelombang baru atau resultan gelombang.

Deret Fourier dengan prinsip yang sama merupakan cara untuk memisahkan sebuah fungsi periodik menjadi sebuah himpunan gelombang sinus dan cosinus. Melalui sebuah deret Fourier, kita bisa mewakilkan sebuah fungsi sebagai kombinasi linier atau superposisi gelombang sinus dan cosinus. Pada Gambar 1, kita dapat melihat bahwa dengan menggabungkan f(x)\,=\,\textrm{sin}\,x dengan f(x)\,=\,\textrm{sin}\,2x maka kita memperoleh gelombang baru (warna merah).

Gambar 1. Superposisi gelombang f(x) = sin x dan f(x) = sin 2x.

Riwayat Singkat dan Penerapan

Pada awalnya, deret Fourier digunakan untuk menyelesaikan persamaan panas (heat equation) pada sebuah lempengan logam dalam bentuk persamaan turunan parsial (1) oleh Jean-Baptiste Joseph Fourier (1768–1830):

\begin{aligned} {\frac {\partial u}{\partial t}}-\alpha \nabla ^{2}u=0\,. \end{aligned}
(1)

Hasil penelitiannya pertama kali diumumkan di hadapan para ilmuwan Akademi Perancis pada 1807 dan ditulis dalam bentuk dua publikasi ilmiah, yaitu: Mémoire sur la propagation de la chaleur dans les corps solides (1807) dan Théorie analytique de la chaleur (1822).

Selanjutnya, beberapa penerapan deret Fourier dalam kehidupan kita saat ini berhubungan erat dengan pengolahan sinyal yang melibatkan analisis fluktuasi energi dalam bentuk pola-pola gelombang. Bila kita mendengar musik melalui pemutar suara digital maka berkas MP3 yang disimpan terlebih dahulu melewati proses kompresi yang melibatkan penggunaan deret Fourier [1]. Hanya dengan mengetahui beberapa elemen pertama deret Fourier maka kita bisa mengkonstruksi ulang sebuah rekaman suara.

Pemahaman deret Fourier secara mendalam mengantarkan kita pada kajian lebih lanjut yaitu transformasi Fourier yang banyak digunakan dalam pengolahan citra, baik itu dalam analisis, penafisan (filtering), rekonstruksi, maupun kompresi citra. Selain pemrosesan citra, deret Fourier juga digunakan dalam bidang rekayasa listrik, akustik, optik, dan mekanika kuantum.

Pembahasan Singkat

Mengingat artikel ini bersifat populer maka penulis mencoba membahas secara singkat mengenai deret Fourier dan menyajikan intisarinya saja. Secara umum, bagi seseorang yang belum mengenal deret Fourier, untuk melukis sebuah fungsi 2D maka terlebih dahulu dilakukan dengan menentukan pasangan titik (x,y) keluaran fungsi tersebut. Namun, kita bisa juga melukisnya dengan menggunakan deret trigonometri:

\begin{aligned} \frac{a_0}{2}\,+\,a_1\,\textrm{cos}\,x\,+\,a_2\,\textrm{cos}\,2x\,+\,\cdots\,+\,b_1\,\textrm{sin}\,x\,+\,b_2\,\textrm{sin}\,2x\,+\,\cdots\,=\,\frac{a_0}{2}\,+\,\sum\limits_{r=1}^{\infty}\left(a_r\,\textrm{cos}\,rx\,+\,b_r\,\textrm{sin}\,rx\right).\end{aligned}
(2)

Tidak seperti ekspansi Taylor dan Maclaurin, dengan deret Fourier kita bahkan bisa mewakilkan fungsi-fungsi yang tidak dapat diturunkan ataupun tidak kontinyu pada titik-titik tertentu.

Pada persamaan (2), apabila kita mengganti x dengan x\,+\,2kx, untuk k merupakan sembarang bilangan bulat, maka persamaan tersebut tidak mengalami perubahan dan kita bisa mewakilkan sebuah fungsi periodik dalam x berperiode 2\pi. Terkait hal tersebut, maka lebar interval yang kita pakai untuk mengevaluasi fungsi sebesar 2\pi:

 -\pi\,<\,x\,\leq\,\pi .
(3)

Selanjutnya, apabila f(x) merupakan sembarang fungsi yang berada dalam interval (3) dan koefisien a_0, a_r, dan b_r dalam persamaan (2) berupa:

 \begin{aligned} a_0\,=\,\frac{1}{\pi}\,\int\limits_{-\pi}^{\pi}\,f(x)\,dx \end{aligned},
(4)
 \begin{aligned} a_r\,=\,\frac{1}{\pi}\,\int\limits_{-\pi}^{\pi}\,f(x)\,\textrm{cos}\,rx\,dx \end{aligned}      (r\,=\,1, 2, 3,\ldots),
(5)
 \begin{aligned} b_r\,=\,\frac{1}{\pi}\,\int\limits_{-\pi}^{\pi}\,f(x)\,\textrm{sin}\,rx\,dx \end{aligned}      (r\,=\,1, 2, 3,\ldots),
(6)

maka deret yang terbentuk disebut sebagai deret Fourier fungsi f(x). Sedangkan, koefisien-koefisiennya disebut sebagai koefisien-koefisien Fourier. Persamaan deret Fourier sebuah fungsi hanya diperoleh dengan terlebih dahulu menyelesaikan atau mencari koefisien-koefisien Fourier-nya. Berikut merupakan bentuk ringkas persamaan deret Fourier:

 \begin{aligned} f(x)\,=\,\frac{a_0}{2}\,+\,\sum\limits_{r=1}^{\infty}\left(a_r\,\textrm{cos}\,rx\,+\,b_r\,\textrm{sin}\,rx\right). \end{aligned}
(7)

Contoh Soal

Agar lebih jelas mengapa sebuah fungsi bisa diwakilkan oleh deret Fourier maka mari kita membahas dua contoh soal berikut:

Contoh 1

Carilah wakilan fungsi f(x)\,=\,x^3 dalam bentuk deret Fourier!

Penyelesaian

Untuk mencari wakilan deret Fourier fungsi  f(x)\,=\,x^3 dalam interval  -\pi\,\leq\,x\,\leq\,\pi maka pertama-tama kita menyelesaikan persamaan (4), (5), dan (6) untuk memperoleh nilai koefisien-koefisien Fourier.

 \begin{aligned} a_0\,&=\,\frac{1}{\pi}\,\int\limits_{-\pi}^{\pi}\,x^3\,dx \\ &=\,\frac{1}{\pi}\,\times\,\frac{x^4}{4}\,\big\rvert^{\pi}_{-\pi}\,=\,\frac{1}{4\pi}\left[\pi^4\,-\,(-\pi)^4\right]\,=0 \end{aligned}
(c-1.1)
 \begin{aligned} a_r\,=\,\frac{1}{\pi}\,\int\limits_{-\pi}^{\pi}\,x^3\,\textrm{cos}\,rx\,dx\,=\,0 \end{aligned}
(c-1.2)
 \begin{aligned} b_r\,=\,\frac{1}{\pi}\,\int\limits_{-\pi}^{\pi}\,x^3\,\textrm{sin}\,rx\,dx\,&=\,(\frac{12}{r^3}\,-\,\frac{2\pi^2}{r})\,\times\,\textrm{cos}\,r\pi \\ &=\,(\frac{12}{r^3}\,-\,\frac{2\pi^2}{r})\,\times\,\left(-1^r\right) \end{aligned}
(c-1.3)

Selanjutnya, koefisien-koefisien yang telah diperoleh dimasukkan ke dalam persamaan deret Fourier (7):

 \begin{aligned} f(x)\,&=\,\frac{0}{2}\,+\,\sum\limits_{r=1}^{\infty}\Bigg\{\left[0\,\times\,\textrm{cos}\,rx\right]\,+\,\left[(\frac{12}{r^3}\,-\,\frac{2\pi^2}{r})\,\times\,\left(-1^r\right)\,\times\,\,\textrm{sin}\,rx\right]\Bigg\} \\ &=\,\sum\limits_{r=1}^{\infty}\left[(\frac{12}{r^3}\,-\,\frac{2\pi^2}{r})\,\times\,\left(-1^r\right)\,\times\,\,\textrm{sin}\,rx\right] \end{aligned}
(c-1.4)

yang kemudian dapat dijabarkan lebih lanjut menjadi:

 \begin{aligned} x^3\,=\,\left[\left(2\pi^2\,-\,12\right)\,\times\,\textrm{sin}\,x\right]\,&+\,\left[\left(\frac{3}{2}\,-\,\pi^2\right)\,\times\,\textrm{sin}\,2x\right]\,\\ &+\,\left[\left(\frac{2\pi^2}{3}\,-\,\frac{4}{9}\right)\,\times\,\textrm{sin}\,3x\right]\,+\,\cdots \end{aligned}
(c-1.5)

Berikut merupakan animasi iterasi persamaan deret Fourier (c-1.5) yang menunjukkan semakin banyak gelombang yang dikombinasikan (nilai r semakin besar) maka tampilan kurva yang terbentuk berdasarkan deret Fourier (garis warna hijau) semakin mendekati kurva fungsi f(x)\,=\,x^3 yang diwakilkannya (garis warna merah):


Animasi 1. Iterasi Persamaan Deret Fourier untuk Fungsi f(x)\,=\,x^3

Untuk melihat konvergensi sebuah titik yang diwakilkan oleh deret Fourier untuk fungsi f(x)\,=\,x^3 maka kita bisa melakukan komputasi dan melukisnya dalam bentuk grafik. Gambar 2 merupakan grafik konvergensi deret Fourier untuk wakilan fungsi f(x)\,=\,x^3 dengan nilai x\,=2\, dan bisa dilihat bahwa semakin besar nilai r maka nilai f(x) deret Fourier semakin mendekati nilai f(x)\,=\,x^3.

Gambar 2. Grafik konvergensi deret Fourier wakilan fungsi f(x)\,=\,x^3 untuk nilai x=2\, \textrm{vs}\, r.

Contoh 2

Carilah deret Fourier yang mewakili fungsi berikut!

\begin{aligned}f(x) = \begin{cases}0,& \textrm{jika }\,\,-\pi \leq x < 0\\1,& \textrm{jika }\,\,0 \leq x < \pi\end{cases}\end{aligned}
(c-2.1)

dan dengan

f(x\,+\,2\pi)\,=\,f(x)\,\textrm{.}
(c-2.2)
Penyelesaian

Seperti pada Contoh 1, untuk mencari wakilan deret Fourier sebuah fungsi maka terlebih dahulu kita mencari nilai koefisien-koefisien Fourier-nya sebagai berikut:

 \begin{aligned} a_0\,&=\,\frac{1}{\pi}\,\int\limits_{-\pi}^{0}\,0\,dx\,+\,\frac{1}{\pi}\,\int\limits_{0}^{\pi}\,1\,dx \\ &=\,0\,+\,\frac{1}{\pi}\left(x\,\big\rvert^{\pi}_{0}\right)\,=\,\frac{1}{\pi}\,\left(\pi\,-\,0\right)\,=\,1\,\textrm{,} \end{aligned}
(c-2.3)
 \begin{aligned} a_r\,&=\,\frac{1}{\pi}\,\int\limits_{-\pi}^{0}\,0\,dx\,+\,\frac{1}{\pi}\,\int\limits_{0}^{\pi}\,\textrm{cos}\,rx\,dx \\ &=\,0\,+\,\frac{1}{r\,\pi}\left(\textrm{sin}\,rx\,\big\rvert^{\pi}_{0}\right)\,=\,\frac{1}{r\,\pi}\,\left(\textrm{sin}\,r\pi\,-\,\textrm{sin}\,0\right)\,=\,0 \,\textrm{,} \end{aligned}
(c-2.4)
 \begin{aligned} b_r\,&=\,\frac{1}{\pi}\,\int\limits_{-\pi}^{0}\,0\,dx\,+\,\frac{1}{\pi}\,\int\limits_{0}^{\pi}\,\textrm{sin}\,rx\,dx \\ &=\,0\,+\,\left[-\frac{1}{r\,\pi}\left(\textrm{cos}\,rx\,\big\rvert^{\pi}_{0}\right)\right]\,=\,-\frac{1}{r\,\pi}\,\left(\textrm{cos}\,r\pi\,-\,\textrm{cos}\,0\right) \\ &=\,\frac{1}{r\,\pi}\left(1\,-\,\textrm{cos}\,r\pi\right)\,=\,\frac{1}{r\,\pi}\left[1\,-\,\left(-1\right)^r\right] \,\textrm{.} \end{aligned}
(c-2.5)

Setelah memperoleh tiga koefisien Fourier di atas maka nilai-nilainya kita substitusikan ke persamaan deret Fourier (7).

 \begin{aligned} f(x)\,&=\,\frac{1}{2}\,+\,\sum\limits_{r=1}^{\infty}\Bigg\{\bigg\{0\,\times\,\textrm{cos}\,rx\bigg\}\,+\,\bigg\{\frac{1}{r\,\pi}\left[1\,-\,\left(-1\right)^r\right]\,\times\,\,\textrm{sin}\,rx\bigg\}\Bigg\} \\ &=\,\frac{1}{2}\,+\,\sum\limits_{r=1}^{\infty} \Bigg\{ \frac{1}{r\,\pi} \left[1\,-\,\left(-1\right)^r\right]\,\times\,\,\textrm{sin}\,rx \Bigg\} \end{aligned}
(c-2.6)

Penjabaran deret di atas berupa:

 \begin{aligned} f(x)\,&=\,\frac{1}{2}\,+\,\frac{2}{\pi}\,\textrm{sin}\,x\,+\,0\,+\,\frac{2}{3\pi}\,\textrm{sin}\,3x\,+\,0\,+\,\frac{2}{5\pi}\,\textrm{sin}\,5x\,+\,\cdots \end{aligned}
(c-2.7)

Berikut merupakan animasi iterasi persamaan deret Fourier (c-2.7):

Animasi 2. Iterasi Persamaan Deret Fourier untuk Fungsi Gelombang Persegi.

Rekomendasi Pustaka

  1. Bathia, A. (2013). The Math Trick Behind MP3s, JPEGs, and Homer Simpson’s Face. URL: https://nautil.us/blog/the-math-trick-behind-mp3s-jpegs-and-homer-simpsons-face . Diakses pada: 10 November 2013, Pkl. ~05.30 WITA.
  2. James, J. F. (2011). A Student’s Guide to Fourier Transforms with Applications in Physics and Engineering. Cambridge: Cambridge University Press.
  3. Stephenson, G. (1970). Mathematical Methods for Science Student (hlm. 240). London: Longman Group Limited.

Tinggalkan Balasan

Situs ini menggunakan Akismet untuk mengurangi spam. Pelajari bagaimana data komentar Anda diproses.